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sábado, 8 de junio de 2019
viernes, 7 de junio de 2019
miércoles, 5 de junio de 2019
matrices
Cálculo de determinantes de
MATRICES1. Introducción
La función determinante es de gran importancia en el álgebra ya que, por ejemplo, nos permite saber si un matriz es regular (si tiene inversa) y, por tanto, si un sistema de ecuaciones lineales tiene solución. Además, en el caso de que el sistema de ecuaciones tenga una única solución, podemos calcularla aplicando determinantes (regla de Cramer). Otras aplicaciones: el cálculo del producto vectorial de dos vectores y determinar si un conjunto de vectores es linealmente independiente.
Es importante que recordéis:
Denotaremos el elemento de la fila i y la columna j de la matriz A por aij.
Es importante que recordéis:
- Una matriz tiene inversa si su determinante es distinto de 0.
- Las filas de una matriz o sus columnas son linealmente dependientes si, y sólo si, su determinante es 0.
Denotaremos el elemento de la fila i y la columna j de la matriz A por aij.
2. Reglas para cada dimensión
Tenemos una regla para cada dimensión.
Regla: calculamos el determinante restan el producto de los elementos de las diagonales:
Regla: calculamos el determinante mediante la llamada regla de Sarrus. Una forma de aplicar la regla de Sarrus es escribir las tres columnas de la matriz seguidas de la primer y la segunda columna:
Los elementos de las diagonales con flecha hacia abajo (azul) se multiplican y se suman; los de las otras diagonales (rojo) se multiplican y se restan:
Normalmente, podemos aplicar la regla de Sarrus sin necesidad de escribir 5 columnas, pero tenéis que pensar vosotros mismos la regla porque es complicado explicarla y entenderla por escrito.
Hay dos versiones de la regla: desarrollo por una fila y desarrollo por una columna.
Consejo: desarrollar por la fila o la columna que tenga más ceros.
siendo Aij la matriz de dimensión n−1 resultante al eliminar la fila i y la columna j de A.
Por tanto, si la matriz es dimensión n, tendremos que calcular n determinantes de matrices de dimensión n−1. Esta es la razón por la que solo usamos esta regla cuando no hay otra opción (dimensión mayor que 3).
Para ver la fórmula de forma más intuitiva, observad el desarrollo por la fila 1 de una matriz de dimensión 3:
Hemos escrito el símbolo × en las entradas de la matriz que se han eliminado, obteniendo así determinantes de matrices 2x2.
Determinante 2
Determinante 9
Dimensión 1x1
Si la dimensión de la matriz es 1, sólo tiene un elemento y su determinante es dicho elemento:![determinante de una matriz de dimensión 1x1 Reglas para calcular el determinante de matrices de dimensión 1, 2 y 3 y la regla de Laplace por filas y columnas. Con ejemplos y ejercicios resueltos. Matemáticas para bachillerato y universidad. Álgebra matricial.](https://www.matesfacil.com/matrices/determinantes/T1.png)
Dimensión 2x2
La matriz cuadrada de dimensión 2 tiene la forma![matriz de dimensión 2x2 Reglas para calcular el determinante de matrices de dimensión 1, 2 y 3 y la regla de Laplace por filas y columnas. Con ejemplos y ejercicios resueltos. Matemáticas para bachillerato y universidad. Álgebra matricial.](https://www.matesfacil.com/matrices/determinantes/T2.png)
![determinante de una matriz de dimensión 2x2 Reglas para calcular el determinante de matrices de dimensión 1, 2 y 3 y la regla de Laplace por filas y columnas. Con ejemplos y ejercicios resueltos. Matemáticas para bachillerato y universidad. Álgebra matricial.](https://www.matesfacil.com/matrices/determinantes/D2.png)
Dimensión 3x3
La matriz cuadrada de dimensión 3 tiene la forma![matriz de dimensión 3x3 Reglas para calcular el determinante de matrices de dimensión 1, 2 y 3 y la regla de Laplace por filas y columnas. Con ejemplos y ejercicios resueltos. Matemáticas para bachillerato y universidad. Álgebra matricial.](https://www.matesfacil.com/matrices/determinantes/T4.png)
![diagrama para la regla de Sarrus Reglas para calcular el determinante de matrices de dimensión 1, 2 y 3 y la regla de Laplace por filas y columnas. Con ejemplos y ejercicios resueltos. Matemáticas para bachillerato y universidad. Álgebra matricial.](https://www.matesfacil.com/matrices/determinantes/Sarrus1b.png)
![regla de Sarrus Reglas para calcular el determinante de matrices de dimensión 1, 2 y 3 y la regla de Laplace por filas y columnas. Con ejemplos y ejercicios resueltos. Matemáticas para bachillerato y universidad. Álgebra matricial.](https://www.matesfacil.com/matrices/determinantes/T5.png)
Ver ejemplo
Regla de Laplace
La regla de Laplace para calcular determinantes se puede aplicar para matrices cuadradas de cualquier dimensión, pero normalmente se hace para dimensión mayor que 3.Hay dos versiones de la regla: desarrollo por una fila y desarrollo por una columna.
Consejo: desarrollar por la fila o la columna que tenga más ceros.
Desarrollo por la fila i de la matriz A de dimensión n:
![fórmula de la regla de Laplace por la fila i de A Reglas para calcular el determinante de matrices de dimensión 1, 2 y 3 y la regla de Laplace por filas y columnas. Con ejemplos y ejercicios resueltos. Matemáticas para bachillerato y universidad. Álgebra matricial.](https://www.matesfacil.com/matrices/determinantes/T8.png)
Por tanto, si la matriz es dimensión n, tendremos que calcular n determinantes de matrices de dimensión n−1. Esta es la razón por la que solo usamos esta regla cuando no hay otra opción (dimensión mayor que 3).
Para ver la fórmula de forma más intuitiva, observad el desarrollo por la fila 1 de una matriz de dimensión 3:
![desarrollo de Laplace del determinante de una matriz 3x3 por la fila 1 Reglas para calcular el determinante de matrices de dimensión 1, 2 y 3 y la regla de Laplace por filas y columnas. Con ejemplos y ejercicios resueltos. Matemáticas para bachillerato y universidad. Álgebra matricial.](https://www.matesfacil.com/matrices/determinantes/T9.png)
Desarrollo por la columna j de la matriz A de dimensión n es
3. Ejemplos de determinantes
Determinante 1
Matriz de dimensión 2x2
![matriz (2, 0; -1, 3) Reglas para calcular el determinante de matrices de dimensión 1, 2 y 3 y la regla de Laplace por filas y columnas. Con ejemplos y ejercicios resueltos. Matemáticas para bachillerato y universidad. Álgebra matricial.](https://www.matesfacil.com/matrices/determinantes/P1.png)
Matriz de dimensión 2x2
![matriz (5, -2; 4, 1) Reglas para calcular el determinante de matrices de dimensión 1, 2 y 3 y la regla de Laplace por filas y columnas. Con ejemplos y ejercicios resueltos. Matemáticas para bachillerato y universidad. Álgebra matricial.](https://www.matesfacil.com/matrices/determinantes/P2.png)
Determinante 3
Matriz de dimensión Determinante 4
Matriz de dimensión 3x3
![matriz (3, 2, -3; 7, -1, 0; 2, -4, 5) Reglas para calcular el determinante de matrices de dimensión 1, 2 y 3 y la regla de Laplace por filas y columnas. Con ejemplos y ejercicios resueltos. Matemáticas para bachillerato y universidad. Álgebra matricial.](https://www.matesfacil.com/matrices/determinantes/P4.png)
Determinante 5
Matriz simétrica de dimensión 3x3
![matriz (2, -3, 1; -3, 5, 7; 1, 7, -1) Reglas para calcular el determinante de matrices de dimensión 1, 2 y 3 y la regla de Laplace por filas y columnas. Con ejemplos y ejercicios resueltos. Matemáticas para bachillerato y universidad. Álgebra matricial.](https://www.matesfacil.com/matrices/determinantes/P5.png)
Determinante 6
Matriz de dimensión 3x3 (aplicar Laplace)
![matriz (-2, 4, 3; 0, raíz(3), 1/2; 0, -4/3, 5) Reglas para calcular el determinante de matrices de dimensión 1, 2 y 3 y la regla de Laplace por filas y columnas. Con ejemplos y ejercicios resueltos. Matemáticas para bachillerato y universidad. Álgebra matricial.](https://www.matesfacil.com/matrices/determinantes/P6.png)
Determinante 7
Matriz diagonal de dimensión 3x3
![matriz diagonal raíz(2)/3, raíz_cúbica(7), raíz(2) Reglas para calcular el determinante de matrices de dimensión 1, 2 y 3 y la regla de Laplace por filas y columnas. Con ejemplos y ejercicios resueltos. Matemáticas para bachillerato y universidad. Álgebra matricial.](https://www.matesfacil.com/matrices/determinantes/P7.png)
Determinante 8
Matriz de dimensión 4x4
![matriz (1, 0, 3, -3; 2, -3, -2, 3; -1, 2, 1, 2; 3, 2, 5, 0) Reglas para calcular el determinante de matrices de dimensión 1, 2 y 3 y la regla de Laplace por filas y columnas. Con ejemplos y ejercicios resueltos. Matemáticas para bachillerato y universidad. Álgebra matricial.](https://www.matesfacil.com/matrices/determinantes/P8.png)
Matriz de dimensión 4x4
![matriz (5, 3, 1 0; -1, 2, 5, -2; 3, -1, -2, 0; -5, 0, -3, 1) Reglas para calcular el determinante de matrices de dimensión 1, 2 y 3 y la regla de Laplace por filas y columnas. Con ejemplos y ejercicios resueltos. Matemáticas para bachillerato y universidad. Álgebra matricial.](https://www.matesfacil.com/matrices/determinantes/P9.png)
Determinante 10
Matriz de dimensión 3x3 con entradas complejas
![matriz (1/2+i/5, (2-i)/3; -i/2, 3/2-i·raíz(5)) Reglas para calcular el determinante de matrices de dimensión 1, 2 y 3 y la regla de Laplace por filas y columnas. Con ejemplos y ejercicios resueltos. Matemáticas para bachillerato y universidad. Álgebra matricial.](https://www.matesfacil.com/matrices/determinantes/P10.png)
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